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悠然自得

用最初的心做永恒的事

 
 
 

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归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案  

2012-06-21 23:17:16|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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不等式中的方案问题与不空不满问题

    

     (2001陕西)某城市的一种出租车起步价为10元(即行驶5千米以内都需付款10元车费),达到或超过5千米后,每增加1千米加价1.2元(不足1千米按1千米计算),现某人乘这种出租车有甲地到乙地,支付车费17.2元.求甲、乙两地的路程.

 

      分析:设甲乙两地的路程为x千米,

                支付车费17.2元,前1千米支付16

                不足1千米也按1千米收费.16<车费≤17.2,都应支付17.2元

 

      解:设甲乙两地的路程为x千米,

            依题意得16<10+1.2(x-5)≤17.2

            解得 :10<x≤11.

 

1、某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料中的维生素C含量及每千克原料的价格如下表所示:

原料项目

甲种原料

乙种原料

维生素C含量 (单位/kg)

600

100

原料价格(元/kg)

8

4


现配制这种饮料10kg,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,请根据以上条件解答下列问题:
(1)设需用xkg甲种原料,写出x所满足的不等式组;
(2)若按上述条件购买甲种原料的质量为整kg数,有几种购买方案,请写出购买方案.

分析:

(1)设需用xkg甲种原料,根据配制这种饮料10kg,要求至少含有4200单位的维生素C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,可列出不等式组.

(2)解出(1)的不等式组,且购买甲种原料的质量为整kg数,可得到方案.

解:(1) 根据题意得

归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得  

(2)由(1)解得 6.4≤x≤8

若按上述的条件购买甲种原料的质量为整kg数,

有两种购买方案:

方案一:甲种原料为7kg,乙种原料为3kg;

方案二:甲种原料为8kg,乙种原料为2kg.

2、某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.

(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;

(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案

解:(1)由租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆,

由题意得:

     归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得

解得:5≤x≤6.

共有2种租车方案:

第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆;

第二种是租用甲种汽车6辆,乙种汽车2辆.

(2)第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400元;

第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600元.

∴第一种租车方案——租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆;更省费用.

3、某工厂要用图1所示的长方形和正方形纸板,经过组合加工成竖式,横式两种长方体形状的无盖纸盒.
(1)设加工竖式纸盒x个,横式纸盒y个,根据题意,完成下列表格:

纸盒

纸板

竖式纸盒(个)

横式纸盒(个)

X

y

正方形纸板(张)

X

2y

长方形纸板(张)

4X

3y

(2)若该厂购进正方形纸板162张,长方形纸板340张.若要两种纸盒共100个,设竖式纸盒x个,按两种纸盒的个数来分,有哪几种生产方案?

(3)若有正方形纸板162张,长方形纸板a张,做成上述两种纸盒,且290<a<306,求a的值.

解:(1)正方形纸板x张,长方形纸板3y张;

(2)设加工竖式纸盒x个,则加工横式纸盒(100-x)个,

依题意,得

       归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得 

         解得:38≤x≤40

         ∵x为整数

         ∴x=38、39、40

       答:有三种方案:

              方案一:加工竖式纸盒38个,加工横式纸盒62个;

              方案二:加工竖式纸盒39个,加工横式纸盒61个;

              方案三:加工竖式纸盒40个,加工横式纸盒60个;

(3)设加工竖式纸盒x个,加工横式纸盒y个,

依题意得:

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 归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得

∵y、a为整数,

∴648-a为5的倍数,

又∵290<a<306

∴满足条件的a为:293,298,303.

4、某县筹备20周年县庆,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个 种造型需甲种花卉80盆,乙种花卉40盆,搭配一个 种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆.

(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来.

(2)若搭配一个 种造型的成本是800元,搭配一个 种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?

解:(1)设搭配A种造型x个,则B种造型为(50-x)个,

依题意得

用一元一次不等式组解决方案设计问题 - 悠然 - 悠然自得

解得:31≤x≤33

∵x是整数,

∴x可取31,32,33

∴可设计三种搭配方案

①A种园艺造型31个B种园艺造型19个

②A种园艺造型32个B种园艺造型18个

③A种园艺造型33个B种园艺造型17个.

(2)方法一:

方案①需成本31×800+19×960=43040(元)

方案②需成本32×800+18×960=42880(元)

方案③需成本33×800+17×960=42720(元)

∴应选择方案③,成本最低,最低成本为42720元

5、某商场经销甲、乙两种商品,甲商品每件进价15元,售价20元.乙商品每件进价35元,售价45元.(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2700元,求能购进甲、乙两种商品各多少件?(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的利润不少于750元,且不超过760元,请你帮助该商场设计相应的进货方案.

分析:本题第一问中两种商品进货价恰好用去2700元,所以可以列方程直接解出.但是第二问中的利润给的是一个范围,我们只能列不等式组,找出它们的公共部分(即解集),再分析其全部的方案.

解:(1)设该商场能购进甲种商品x件,则购进乙商品(100-x)件.

由题意得:15x+35(100-x)=2700

x=40(件)

100-x=60(件)

(2)设该商场购进甲商品a件,则购进乙商品(100-a)件.

由题意得:

用一元一次不等式组解决方案设计问题 - 悠然 - 悠然自得 

解这个不等式组得:48≤a≤50

∵a是正整数

所以,a的取值可以取48、49、50三种情况.

所以进货方案有三种:

方案1:购进甲商品48件,乙商品52件

方案2:购进甲商品49件,乙商品51件

方案3:购进甲商品50件,乙商品50件

6、如图所示,小李决定星期日登A、B、C、D中的某山,打算上午9点由P地出发,尽可能去最远的山,登上山顶后休息一小时,到下午3点以前回到P地.如果去时步行的平均速度为3 km/h,返回时步行的平均速度为4 km/h.试问小李能登上哪个山顶?

(图中数字表示由P地道登上改山顶的路程)

小李能登上哪个山顶? - 悠然 - 悠然自得


       解:设P地到能登山顶的路程为x km,

       根据题意得:x/3+x/4≤5

       解得x≤60/7

       即x≤8又4/7

      所以小李能登上山顶C。

7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不空也不满.请问:有多少辆汽车?

分析:这是典型的不空也不满的问题.

“用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物”,这句话告诉了“这批货物的总量”(4x+20)吨

“若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不空也不满”,这句话告诉了“最后一辆车所装货物量”

“最后一辆车所装货物量”应为“这批货物的总量”减去“除最后一辆车外其他汽车所装的货(4x+20)-8(x-1)

由题意,得0<(4x+20)-8(x-1)<8,

解:设有x辆车,则有(4x+20)吨货物.

由题意,得

一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得

解得5<x<7.

∵x为正整数,∴x=6.

∴4x+20=4×6+20=44.

答:有6辆车,44吨货物.

8、把一些书分给几个学生,如果每人分三本,那么剩余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人分不到三本,这些书有多少本?学生有多少人?

分析:设有x个学生,根据“每人分3本,还余8本”用含x的代数式表示出数的本数(3x+8)本

每人分5本,最后一组分到 3x+8-5(x-1)

分不到3本,不足3本,大于等于0,小于3

再根据“每人分5本,最后一组就分不到3本”列不等式.

解:设有x个学生,那么共有(3x+8)本书,

根据题意得:

一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得

解得5<x≤6.5,

∵x为整数

∴x=6,

∴3x+8=3×6+8=26(本)

答:有26本书,6个学生.

 

9、某校初三年级春游,现有36座和42座两种客车供选择租用,若只租用36座客车若干辆,则正好坐满;若只租用42座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但超过30人;已知36座客车每辆租金400元,42座客车每辆租金440元.

(1)该校初三年级共有多少人参加春游?

(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案?

解:(1)设租36座的车x辆.
                 根据题意得:

                 归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得           

           解得:7<x<9

           ∵x为整数

           ∴x=8.
             ∴春游人数为:36×8=288(人).
          (2)方案①:租36座车8辆的费用:8×400=3200元;
                  方案②:租42座车7辆的费用:7×440=3080元;
                  方案③:因为42×6+36×1=288,
                  租42座车6辆和36座车1辆的总费用:6×440+1×400=3040元.
                  所以方案③:租42座车6辆和36座车1辆最省钱.

10、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿,已知该班女生少于35人,若每个房间住5人,则剩下5人没处住;若每个房间住8人,则空一间房,并且还有一间房也不满.最多有多少间宿舍,多少名女生?

解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系.

解:设有x间宿舍,依题意得,

一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得

解之得,13 /3 <x<6,

因为宿舍数应该为整数,

所以,最多有x=5间宿舍,

当x=5时,学生人数为:5x+5=5×5+5=30人.

答:最多有5间房,30名女生.

11、有人问一位老师,他所教的班有多少个学生,老师说:"现在有一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在念外语,还剩下不足6位学生在踢足球."则这个班有多少个学生?

解:设这个班有x人,根据题意得

       0<x-(1/2)x-(1/4)x-(1/7)x<6

      解得:0<x<56

      这个班的人数一定是2、4、7的公倍数,

所以这个班有28人。

归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得 
归纳卷9、10页【方案、不空不满问题】答案 - 悠然 - 悠然自得

①方案一购买A型课桌凳78套,B型课桌凳122套

   总费用:78×180+122×220=40880

②方案二购买A型课桌凳79套,B型课桌凳121套

   总费用:79×180+121×220= 40840

③方案三购买A型课桌凳80套,B型课桌凳120套

   总费用:80×180+120×220= 40800

∴方案三购买A型课桌凳80套,B型课桌凳120套费用最低


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