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一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题  

2012-05-26 18:56:54|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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有关“不空与不满”的问题
 
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在一元一次不等式组中有一类“不空也不满””“不足”的问题,虽然这类问题并不难,但学生却感到很难理解,因此在解决这类问题时常常出错.为了突破这个难点,在教学中我告诉学生:这类问题关键在于理解“不空也不满”“不足”,只要正确找准“最后一个单位所得到的物品的数量”.“最后一个单位所得到的物品的数量”等于“物品的总数减去除最后一个单位外其他所有单位所得物品的数量的和”.

“不空也不满”指最后一个单位所得到的物品的数量既大于零,又小于规定的个数.

“不足”大于等于零,又小于规定的个数.

只要理解了最后一个单位所得到的物品的个数,最后列出一元一次不等式组进行求解,因此这类实际问题也就简单易行了.

例1   用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不空也不满.请问:有多少辆汽车?

分析:这是典型的不空也不满的问题.

“用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物”,这句话告诉了“这批货物的总量”(4x+20)吨

“若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不空也不满”,这句话告诉了“最后一辆车所装货物量”

“最后一辆车所装货物量”应为“这批货物的总量”减去“除最后一辆车外其他汽车所装的货(4x+20)-8(x-1)

由题意,得0<(4x+20)-8(x-1)<8,

解:设有x辆车,则有(4x+20)吨货物.

由题意,得      

      一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得 

解得5<x<7.

∵x为正整数,∴x=6.

∴4x+20=4×6+20=44.

答:有6辆车,44吨货物. 

例2 把一些书分给几个学生,如果每人分三本,那么剩余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人分不到三本,这些书有多少本?学生有多少人?

分析:设有x个学生,根据“每人分3本,还余8本”用含x的代数式表示出数的本数(3x+8)本

每人分5本,最后一组分到 3x+8-5(x-1)

分不到3本,不足3本,大于等于0,小于3

 再根据“每人分5本,最后一组就分不到3本”列不等式.

解:设有x个学生,那么共有(3x+8)本书,

      根据题意得:

     一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得

      解得5<x≤6.5,

      ∵x为整数

      ∴x=6,

       ∴3x+8=3×6+8=26(本)

      答:有26本书,6个学生.

例3   学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿,已知该班女生少于35人,若每个房间住5人,则剩下5人没处住;若每个房间住8人,则空一间房,并且还有一间房也不满.最多有多少间宿舍,多少名女生?

解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系.

解:设有x间宿舍,依题意得,

一元一次不等式组中有关“不空与不满”问题 - 悠然 - 悠然自得

解之得,13 /3 <x<6,

因为宿舍数应该为整数,

所以,最多有x=5间宿舍,

当x=5时,学生人数为:5x+5=5×5+5=30人.

答:最多有5间房,30名女生.

例4  有人问一位老师,他所教的班有多少个学生,老师说:"现在有一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在念外语,还剩下不足6位学生在踢足球."则这个班有多少个学生?

解:设这个班有x人,根据题意得

0<x-(1/2)x-(1/4)x-(1/7)x<6

解得:0<x<56

这个班的人数一定是2、4、7的公倍数,

所以这个班有28人。

 

 

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