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精彩纷呈的平面镶嵌  

2012-04-07 15:26:08|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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精彩纷呈的平面镶嵌
 
悠然编辑整理
 

精彩纷呈的平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

一、基本概念、基本结论

1、平面镶嵌的概念

从数学角度看,用一些不重叠摆放的图形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做覆盖平面(或平面镶嵌)的问题 

2、平面镶嵌的特点

(1)不重叠  (2)完全覆盖

3、基本结论

(1)如果有某一种正多边形可以进行镶嵌,那么这种正多边形内角度数一定能被周角的度数整除。

(2)用两种或两种以上正多边形镶嵌:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°。

二、用正n边形的镶嵌

 1、只用一种正多边形镶嵌

    能够镶嵌的正多边形有: 正三角形、正方形、正六边形    

           平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

      6×60°=360° 4×90°=360° 3×120°=360°

 

    正五边形不能镶嵌

   平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

      3×108°=324° <360°    4×108°=432°>360°

 2、用两种正多边形镶嵌

 (1)2个正方形和3个正三角形镶嵌       

             平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

           2×90°+3×60°=360°

 (2)正六边形和正三角形镶嵌

   ①2个正六边形和2个正三角形镶嵌

       平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

     2×120°+2×60°=360°

   ②1个正六边形和4个正三角形镶嵌

   平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

     120°+4×60°=360° 
     (3)2个正八边形和1个正方形镶嵌     

 平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

       2×135°+90°=360°

(4)2个正十二边形和1个正三角形镶嵌

       2×150°+60°=360°

(5)1个正十边形和2个正五边形

       144°+2×108°=360°

3、用三种正多边形镶嵌

       平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得
 
       (1)1个正六边形、2个正方形和1个正三角形
 
            120°+2×90°+60° =360°
 
       (2)1个正十二边形、1个正方形和一个正六边形  

         150°+90°+120° =360° 

三、用一种任意多边形镶嵌

1.全等的任意三角形能镶嵌平面

把一些纸整齐地叠放好,用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°,用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面.如图1. 

          平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得
 

用全等的三角形镶嵌平面,镶嵌的方法不止一种,如图2.

             平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

2.全等的任意四边形能镶嵌平面

仿上面的方法可剪出多个全等的四边形,用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的内角和是360°,用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4.

       平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得     平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

3.全等的特殊五边形可镶嵌平面

圣地亚歌一位家庭妇女,五个孩子的母亲玛乔里·赖斯,对平面镶嵌有很深的研究,尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面,可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面,在图5的五边形ABCDE中,∠B=∠E=90°,2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°,a=e,a+e=d.图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面,是否只有13类,还有待研究.
         平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

4.全等的特殊六边形可镶嵌平面

1918年,莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7的六边形ABCDEF中,∠A+∠B+∠C=360°,a=d.

        平面镶嵌 - 悠然 - 悠然自得

5.七边形或多于七边的凸多边形,不能镶嵌平面.

 

 四、设计

请你利用正多边形的镶嵌知识,为一家装璜公司设计一种构图优美的地板砖。

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