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代数法巧解几何题  

2012-04-04 22:25:13|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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用代数法证明几何题

 

 

 
       中考,几何证明占数学总分的一半左右,其中有一类题目是证明线段、角度之间的数量关系,这类题目中的相当一分部用几何方法证明比较困难,如果我们先用字母表示几何量,把几何图形数量化,再通过列方程、计算,就较容易达到证明的目的。这种证明几何题的方法为代数法。
 
       由于利用代数运算代替了复杂的几何推理,从而可使证明过程简单化。
 
       请看下面一组例题
 

例1、已知在△ABC中,∠B的平分线BD和∠C的平分线CE相交于点O,

求证:∠BOC=90°+1/2∠A       

用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得

证明:∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,

      ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.

      ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,

      ∴∠1=1/2∠ABC,∠2=1/2∠ACB.

      ∴∠1+∠2=1/2∠ABC+1/2∠ACB.

                   =1/2(∠ABC+∠ACB)

                   =1/2(180°-∠A)

                =90°-1/2∠A.

     ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)

          =180°-(90°-1/2∠A)

           = 90°+1/2∠A

例2 若将例1中的条件“CE平分∠ACB”改为“CE平分与∠ACB相邻的外角∠ACD”,其它条件不变.试问例1中的结论是否仍成立?若成立说明理由;若不成立,请找出∠BOC与∠A的关系并予证明.  

用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得

证明:例1中的结论不成立.∠B0C=1/2∠A.理由如下:

      ∵∠ACD是△ABC的外角,

        ∠ACD=∠ABC+∠A,

      ∴∠ACD-∠ABC=∠A,

      ∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACD,

      ∴∠1=1/2∠ABC,∠2=1/2∠ACD

      ∴∠2=∠1+∠BOC.

      ∴∠BOC=∠2-∠1

            =1/2∠ACD - 1/2∠ABC

            =1/2(∠ACD-∠ABC) 

            =1/2∠A.

例3 若O为∠ABC,∠ACB的外角∠DBC和∠ECB的平分线BO,CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?为什么?  

用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得

 解:∠BOC=90°-∠A/2,理由如下:
      ∠ABC+∠ACB=180°-∠A

     ∠BOC=180°-(∠1+∠2)

     ∵BO、CO为∠ABC,∠ACB的外角∠DBC和∠ECB的平分线

     ∴∠1=∠CBD/2    ∠2=∠BCE/2

     ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)

           =180°-(∠CBD/2+∠BCE/2)

           =180°-(∠CBD+∠BCE)/2

     ∵∠CBD=180°-∠ABC,∠BCE=180°-∠ACB

     ∴∠BOC=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)/2
            = (∠ABC+∠ACB)/2
            =(180°-∠A)/2   
     ∴∠BOC=90°-∠A/2

例4 如图,∠ACB=90°,∠BAD、∠ABC的平分线相交于点O,

∠AOB的大小是否随A、B 的移动发生变化,如果保持不变,请给出证明,

如果发生变化,请求出变化范围

     用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得  

解:∠AOB=45°,保持不变,理由如下:

    ∵AE、BO分别为∠BAD、∠ABC的平分线

    ∴∠1=1/2∠ABC  ∠2=1/2∠DAB

    ∠AOB=∠2-∠1

         =1/2(∠DAB -∠ABC )

         =1/2∠ACB

         =90°/2

         =45°

    ∴∠AOB=45°,保持不变

 

例5  已知AD为△ABC的角平分线,E为AD上一点,EF⊥BC于F,

     求证:∠DEF=1/2(∠C-∠B)      

        

           用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得

证明:∵AD为△ABC的角平分线

      ∴∠BAD=1/2∠BAC

     ∠ADC=∠B+∠BAD(三角形任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和)

        =∠B+1/2∠BAC      

       ∠BAC=180°-∠B-∠C

    ∴ ∠ADC=∠B+1/2(180°-∠B-∠C)

              =90°-1/2(∠C-∠B)

     ∵EF⊥BC,在△DFE中,

     ∴∠DEF=90°-∠ADC

     ∴∠DEF=90°-[90°-1/2(∠C-∠B)]

            =1/2(∠C-∠B) 

 

例6 已知AD为△ABC的角平分线,E为AD上一点,EF⊥AD于E,交BC的延长线于F,

    求证:∠F==1/2(∠C-∠B)

        用代数法证明几何题 - 悠然 - 悠然自得

 请仿照例5写出证明

 

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