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“五角星”五角之和及变式练习  

2012-04-04 19:04:34|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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五角星五角之和及变式练习

 

 

“五角星”五角之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

 


“五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

 

如图1是我们大家非常熟悉的我国国旗图案,国旗上有五颗美丽的五角星,你知道每一颗五角星的五个角的度数之和是多少度吗?

要回答这个问题不难,因为国旗上每一个五角星都是正五角星,如图2所示,它的每一个角都是36° ,即∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36° ,

故有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° .

如图3,在一般的五角星中上述关系还成立吗?写出你的结论,

并简要说明你的理由.

解法1:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 仍然成立,理由如下:

               “五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得 

      ∵   ∠A+∠1+∠2=180°

           ∠1=∠C+∠E

            ∠2=∠B+∠D

        ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

 

解法2:利用基本图形基本结论

 “五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得


 

在这里我们先了解一个有用的基本图形与相关的一个结论:

大家知道,在图4中,∠3=∠1+∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).

(1)基本图形:图5;

(2)基本结论:∠A+∠B=∠C+∠D(证明请同学们自己完成).

 

解法2:如图3,连结CD,如图6,

这里构造了图5这个基本图形,所以∠B+∠E=∠1+∠2,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=△ACD的三个内角的和=180° .

 

变式练习

 

“五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

 【变式1】当A向下移动到BE上时,五个角的和(∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?

【变式2】当点A进一步向下移动至如图所示的位置,五个角的和(∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?

【变式3】将A,C同时移动至如图所示的位置,五个角的和(∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?

【变式4】将A,C同时移动至如图所示的位置,五个角的和(∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?

对于上述四个变式,五个角的和 都没有变化.事实上,对变式1、2,我们仍都连结CD,5个角的和等于△ACD的三个内角的和 ;对于变式3、4,我们都连结DE,5个角的和等于△BDE的三个内角的和  

 

利用图5这个基本图形及结论,我们可以解决很多类似的问题.

【变式5】如果截去五角星的一个角请你求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.


          “五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

对于变式5,我们连结BC, 如下图,则∠A+∠D=∠1+∠2,这样六个角的和等于四边形BCEF的内角和 .

  

动手试一试,显显你的能力:

变式6.求图7(1)、图7(2)、图7(3)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗?

 

 “五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

       变式7.如图8,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.

变式8.如图9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的度数.

 

        “五角星”的五个角的度数之和及变式练习 - 悠然 - 悠然自得

参考答案:

变式6.图7(1)直接利用图5的基本图形及结论,7(2)、7(3)中分别连结BC和AB,再利用图5的基本图形及结论,再用多边形内角和公式,均可求得6个角度之和都是360° .

变式7.图8中连结HE、FC和HC,便可把所求的8个角度之和转化为四边形ABCH的内角和为360°

变式8.图9中连结AG和GD,便可把所求的9个角度之和转化为五边形ABCDG的内角和为540°

 

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