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正五边形的尺规作图及sin36°、sin18°、sin15°、sin75°的求法  

2011-11-28 21:34:43|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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         同事问正五边形的尺规作图,整理如下:正五边形尺规作图的画法及其他 - 悠然 - 悠然自得

 
        圆内接正五边形的画法如下:

        1、 作一个圆,设它的圆心为O;

        2、作圆的两条互相垂直的直径CD和AB;

        3、作OA的中点M;

        4、以点M为圆心,MC为半径作圆,交OB于点N;

         5、以点C为圆心,CN为半径,在圆上连续截取等弧,使弦CE=EF=FG=GH=HC,

         则五边形CEFGH即为正五边形。

 

证明:正五边形的边长=2Rsin36°;  sin36 °=[√(10-2√5)]/4.

         ∴正五边形的边长=R[√(10-2√5)]/2

         由图知:OM=R/2,MN=CM=R√5/2,

          ∴ON=R(√5-I)/2

          在Rt△OCM中由勾股定理求得:CM=R[√(10-2√5)]/2.

         ∴所作五边形CEFGH为正五边形。

 正五边形的尺规作图及sin36°、sin18°的求法 - 悠然 - 悠然自得

 

(1)sin36°的第一种求法:

作顶角为36°、腰长为1 的等腰三角形ABC, 作底角B的平分线BD,设AD = x 
则AD = BD = BC = x,DC = 1 - x.
由△ABC∽△BCD得:BC/CD=AB/BC

∴BC^2=AB*CD

∴x^2 = 1 - x
解得:x = (√ 5 - 1)/2

作BC上的高AE

∵cosC=CE/AC

∵cos72°= x/2=  (√ 5 - 1)/4


又∵Cos72°=1-2(Sin36°)^2 且Sin36°>0


∴sin36 °=[√(10-2√5)]/4.

 

(2)sin36°的第二种求法:

解 作黄金△ABC,∠BAC=36°,∠ABC=∠ACB=72 °.
令BC=a,AB=AC=b。
过B作∠ABC的角平分线BD,交AC于D。
因为等腰△ABC∽等腰△BCD,
所以BC/CD=AB/BC,
故CD=a^2/b,
由此得:AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b。
因为BC=BD,故a=(b^2-a^2)/b。
即得:b^2=a^2+ab
令b/a=t,则t^2-t-1=0,
解方程得:t=(√5+1)/2.
故b/a=(√5+1)/2,a/b=(√5-1)/2.
由正弦定得:sin36 °/sin72 °=a/b=(√5-1)/2.
故得:cos36 °=(√5+1)/4.
因而得: sin36 °=[√(10-2√5)]/4.

 

(3)sin18°的求法:

作顶角为36°、腰长为1 的等腰△ABC, 作底角B的平分线BD,设AD = x
则AD = BD = BC = x,DC = 1 - x.
由△ABC∽△BCD得:x^2 = 1 - x
解得x = (√ 5 - 1)/2

作△ABC的底边BC上的高AE

在Rt△ABE中

sin∠ABE=BE/AB= x/2
∴sin18° = x/2 = (√5 - 1)/4.


正五边形的尺规作图及sin36°、sin18°、sin15°的求法 - 悠然 - 悠然自得

 (3)sin15°的求法

  作△ABC,使∠BAC=∠ABD=15°,则∠BDC=30°

  设BC=1,则BD=2,CD=√3,AC=√3+2,AB=√8+4√3=√6+√2

 ∴sin15° =BC/AB=1/(√6 + √2)=(√6 - √2)/4

利用和差公式求更简单:

sin15°=sin(45°-30°)
       =sin45°*cos30°-sin30°*cos45°
       =(√6 - √2)/4

利用倍角公式计算:

Cos30=1-2(Sin15)^2
(Sin15)^2=1-Cos30=1-√3/2
Sin15=(√6 - √2)/4

同理sin75°=(√6 + √2)/4


 


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